Nato a Trento il 24 giugno 1866. Compì gli studi a Innsbruck, Roma e Vienna, dove si laureò in giurisprudenza. Avvocato, fu eletto alla Dieta di Innsbruck e alla Camera di Vienna, e rappresentò una della più significative figure di difesa dell’autonomia trentina in attraverso posizioni prima di astensionismo e poi di ostruzionismo, impedendo al parlamento austriaco di legiferare a piacimento.

Si battè aspramente per l’istituzione di una facoltà giuridica italiana a Trento, combattendo con le ipotesi avanzate dagli austriaci di crearne una o a Rovereto o a Trieste. Nel 1902, grazie alla stima e al rispetto conquistato negli ambienti imperiali, nominato nella Giunta tirolese, Conci si trasferì con la famiglia ad Innsbruck.

Nel 1908 divenne vice capitano del Tirolo ed ottenne che i deputati trentini alla dieta diventassero 35 sui 96 totali. Nel 1915, allo scoppio della prima guerra mondiale, Conci e la sua famiglia furono reclusi nel campo di internamento di Katzenau a Linz. Nel 1919 gli fu affidata l’organizzazione amministrativa della “Venezia Tridentina”.

Con l’annessione del Trentino, fu eletto senatore durante il Regno d’Italia, dal 1920 al 1946, opponendo resistenza alle leggi fasciste, e in seguito nel periodo repubblicano, dal 1948 al 1953, nelle file della Democrazia Cristiana. Ritiratosi a vita privata, morì a Trento il 25 marzo 1960 all’età di 94 anni.